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<!DOCTYPE html>

<title>Injektive Funktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Injektive Funktion</h1>

</header>

</div>

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a>, also insbesondere auch einer <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">Relation</a>, namentlich der, bei dem die Relation auch rechtseindeutig und linkstotal ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}" loading="lazy"> ist injektiv, wenn es zu jedem <a href="Element_(Mathematik)" title="Element (Mathematik)">Element</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> der <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> höchstens ein (also eventuell gar kein) Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> der Ausgangs- oder <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei oder mehr verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/279b281dd75b83ff44d828d33ffbfff2230d66a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.522ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das ist äquivalent zu

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cfe5e2144560f03fdae6e9dc8f27807928076f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.522ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Zielmenge kann daher nicht <a href="M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)#Vergleich_der_Mächtigkeit" title="Mächtigkeit (Mathematik)">weniger mächtig</a> als die Definitionsmenge sein, d. h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die <a href="Bildmenge" class="mw-redirect" title="Bildmenge">Bildmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X):=\{f(x)\mid x\in X\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X):=\{f(x)\mid x\in X\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/999231c35ebcf25a03f33307a113e434b1dc786f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.643ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X):=\{f(x)\mid x\in X\}}" loading="lazy"> darf eine echte <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> sein, d. h., es kann Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cee1c0ec36a82f33f5e3d7434d5667881b4ec323.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in Y}" loading="lazy"> geben, die keine Bildelemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer <a href="Bijektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Bijektivität">bijektiven</a> Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> auftritt, dass also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> <a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">surjektiv</a> ist.

Dass eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}" loading="lazy"> injektiv ist, wird gelegentlich durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dedc3b61ae0de34ff3d957e1c9b9769b6cd74acd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.973ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}" loading="lazy"> ausgedrückt, mit einem aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f51f0eeff0c2a9dcb9c856f87ca0359e701ef01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \subset }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \to }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \to }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1daab843254cfcb23a643070cf93f3badc4fbbbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \to }" loading="lazy"> zusammengesetzten Zeichen. Es erinnert an die <a href="Einbettung_(Mathematik)" title="Einbettung (Mathematik)">Einbettung</a> einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> in eine <a href="Obermenge" class="mw-redirect" title="Obermenge">Obermenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> durch eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y,\,f(x)=x,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y,\,f(x)=x,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06531d2aab711f9cccfd126f10d01176a170d715.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.593ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y,\,f(x)=x,}" loading="lazy"> die jedes Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> auf sich selbst abbildet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_und_Gegenbeispiele">Beispiele und Gegenbeispiele</h2></div>

<ul><li>Außermathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem <a href="B%C3%BCrger" title="Bürger">Bürger</a> der <a href="Deutschland" title="Deutschland">Bundesrepublik Deutschland</a> mit <a href="Personalausweis" title="Personalausweis">Personalausweis</a> die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird (denn Personalausweisnummern werden nur einmal vergeben).</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" loading="lazy"> bezeichne die Menge der <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" loading="lazy"> die Menge der <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzen Zahlen</a>.</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\,x\mapsto 2x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51180386ad3925b499d73c6345a28a8197bc2e7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.055ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\,x\mapsto 2x}" loading="lazy"> ist injektiv.</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,\,x\mapsto 2x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0340ce5f884b86622e84ebeaca7042cc8089629.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.799ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,\,x\mapsto 2x}" loading="lazy"> ist injektiv.</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{3}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\,x\mapsto x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64c2c57554e4dd7c1a27e5c064790204edeeeb7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.946ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{3}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\,x\mapsto x^{2}}" loading="lazy"> ist injektiv.</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{4}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b5058b75dea7d433144b909afa98b44b83ea78b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.691ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f_{4}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}}" loading="lazy"> ist nicht injektiv, da z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(1)=f(-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(1)=f(-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffe9172c96515f2c9363916274c020f4ec1cd972.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.407ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(1)=f(-1)}" loading="lazy"> gilt.</dd></dl>

<ul><li>Jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y,\,x\mapsto f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y,\,x\mapsto f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/151c5ba8c6241504aa70d74c0a561a781fab7a13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y,\,x\mapsto f(x)}" loading="lazy"> von einer zweielementigen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=\{a,b\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\{a,b\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd49abd3a2f5f1fa81958c55cc0150e83d08c9fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.665ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=\{a,b\}}" loading="lazy"> in eine einelementige Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=\{c\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\{c\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c096832fedfc4d35e2a9e829bc6337856dbab050.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y=\{c\}}" loading="lazy"> ist nicht injektiv, weil notwendigerweise beide Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> auf das einzige Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd7da0e0affa426cc3e373386cd6c2b5e7cdb6b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.621ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c\in Y}" loading="lazy"> abgebildet werden:</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)=f(b)=c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c50ad1f62e85bbaeebfef20e2b67ffb81d42aa95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.607ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)=f(b)=c}" loading="lazy"> trotz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bf17ce351d08f2b7a3e54ba3aa2132f260c84f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.326ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq b}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<ul><li>Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> nur vom <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Funktionsgraphen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c394fb3cbd420293f460fc57f7499adcc222f4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.766ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}" loading="lazy"> abhängt (im Gegensatz zur <a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">Surjektivität</a>, die auch von der Zielmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> abhängt, die man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).</li>

<li>Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y\subseteq A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da0b122377c16c8f9c052aa24417ad85f2a24e65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.629ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y\subseteq A}" loading="lazy"> gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/778926be6fbff052a97e1d1291ddb553a4294b48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.034ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)}" loading="lazy"></li>

<li>Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> ist genau dann injektiv, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(f(T))=T}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(f(T))=T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a24b89f1ccda3fd49e077e5069254ea9aa6f05c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.921ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(f(T))=T}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\subseteq A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\subseteq A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac1a05d70196815f1a4b6b8cd2ecf3f6459ef7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.478ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T\subseteq A}" loading="lazy"> gilt (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34a99711cdf85869f99d9f886a83249833782873.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.834ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)}" loading="lazy"> die <a href="Urbildfunktion" class="mw-redirect" title="Urbildfunktion">Urbildfunktion</a> bezeichnet).</li>

<li>Sind die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon B\to C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon B\to C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02572d111e174b9ad0bf94d95d47c8e4f7d9649d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.294ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon B\to C}" loading="lazy"> injektiv, dann ist auch die <a href="Komposition_(Mathematik)" title="Komposition (Mathematik)">Komposition</a> (Verkettung) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f\colon A\to C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f\colon A\to C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38e2aeccd17ee909df4337de54e544f3625013de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.747ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ f\colon A\to C}" loading="lazy"> injektiv.</li>

<li>Aus der Injektivität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ f}" loading="lazy"> folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> injektiv ist.</li>

<li>Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> mit nichtleerer Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist genau dann injektiv, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> eine <a href="Inverses_Element" title="Inverses Element">Linksinverse</a> hat, das ist eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon B\to A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon B\to A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4e08748321f18c6fa14216fe2c369ec3192cb6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.271ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon B\to A}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09dd133268ac4388e9d0e6d3d81c4d4403388986.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.092ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}}" loading="lazy"> (wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f8e9928a7f50859422671451607b974756960fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {id} _{A}}" loading="lazy"> die <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">identische Abbildung</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> bezeichnet).</li>

<li>Eine Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> ist genau dann injektiv, wenn sie <a href="Linksk%C3%BCrzbar" class="mw-redirect" title="Linkskürzbar">linkskürzbar</a> ist, wenn also für beliebige Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g,h\colon C\to A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g,h\colon C\to A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06f15b37af2724dd856b16d3b257c4efd03afc9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.646ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g,h\colon C\to A}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ g=f\circ h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ g=f\circ h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aced36b06004c1fe84cee7ee4647d6d0e3e0e442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.5ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ g=f\circ h}" loading="lazy"> die Gleichheit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50f4fd70b1200ffb96f9b7dccc5b64296e8da9f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.553ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=h}" loading="lazy"> folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der <a href="Kategorientheorie" title="Kategorientheorie">Kategorientheorie</a> verwendeten Begriff <a href="Monomorphismus" title="Monomorphismus">Monomorphismus</a>, jedoch sind bei allgemeinen <a href="Morphismus" title="Morphismus">Morphismen</a> injektiv und linkskürzbar nicht mehr äquivalent.)</li>

<li>Jede beliebige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\to B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\to B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\to B}" loading="lazy"> ist als Verkettung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=h\circ g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=h\circ g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8bf9ecaafec0e79beaba94302aa824e2c7de682.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.027ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=h\circ g}" loading="lazy"> darstellbar, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> surjektiv und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> injektiv (nämlich eine <a href="Inklusionsabbildung" title="Inklusionsabbildung">Inklusionsabbildung</a>) ist.</li>

<li>Eine <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige</a> <a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">reellwertige Funktion</a> auf einem reellen <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich <a href="Streng_monotone_Funktion" class="mw-redirect" title="Streng monotone Funktion">streng monoton</a> steigend oder streng monoton fallend ist, d. h. wenn für zwei beliebige Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> aus dem Definitionsbereich gilt: Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<b}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)<f(b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)<f(b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36bafe9b9eecd8137742c72d973872915b8f4435.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)<f(b)}" loading="lazy"> (steigend), bzw. aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<b}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)>f(b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)>f(b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a9ed33b8cb2a427d01703317cd7381cebb49b9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)>f(b)}" loading="lazy"> (fallend).</li></ul>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder{margin-top:.5em}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-kopf{clear:both;font-weight:bold}.mw-parser-output .vl-mehrere-bilder-horizontal{float:left;padding:1px}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage{background:none}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vl-mehrere-bilder .thumbimage:not([style*="background"]) span:not([class]) img{background-color:var(--background-color-base-fixed,#ffffff);color:var(--color-base-fixed,#202122);filter:brightness(0.8)}}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><div class="thumb vl-mehrere-bilder" style="width:382px;"><div class="thumbinner"><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:184px;"><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption">Drei injektive streng monoton steigende reelle Funktionen.</div></div><div class="vl-mehrere-bilder-horizontal" style="width:184px;"><div class="thumbimage"></div><div class="thumbcaption">Drei injektive streng monoton fallende reelle Funktionen.</div></div><div style="clear:both;"></div>

</div></div>

<ul><li>Ein <a href="Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">Gruppen-</a> oder <a href="Vektorraumhomomorphismus" class="mw-redirect" title="Vektorraumhomomorphismus">Vektorraumhomomorphismus</a> ist genau dann injektiv, wenn sein <a href="Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Kern</a> trivial ist, d. h. nur aus dem <a href="Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutralen Element</a> bzw. dem <a href="Nullvektor" title="Nullvektor">Nullvektor</a> besteht.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mächtigkeiten_von_Mengen">Mächtigkeiten von Mengen</h2></div>

Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Injektion in der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> bei Definition und Vergleich von <a href="M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeiten</a>, einem Begriff, der die Elementeanzahl von endlichen Mengen auf beliebige Mengen verallgemeinert. Zwei Mengen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,\,Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,\,Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b93721e9a61e4eb04990740e1fa5db3c369156a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.174ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,\,Y}" loading="lazy"> heißen „von gleicher Mächtigkeit“, wenn es sowohl eine Injektion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> als auch eine solche von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gibt. (In diesem Fall existieren auch Bijektionen von der einen auf die andere Menge.) Dagegen heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> von kleinerer Mächtigkeit als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">, wenn es zwar eine Injektion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy">, aber keine von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gibt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schubfachschluss">Schubfachschluss</h2></div>

Ein in Beweisen insbesondere der Zahlentheorie häufiges Schlussschema benutzt die Feststellung, dass eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> einer endlichen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> in eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> mit weniger Elementen nicht injektiv sein kann, dass es also Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b\in X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5774e455790a994edd7fe7fb9225c92a974a1295.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.082ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b\in X}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bf17ce351d08f2b7a3e54ba3aa2132f260c84f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.326ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\neq b}" loading="lazy"> und gleichem Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)=f(b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)=f(b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f70209bf143b8417feef2aed98b2e86bc8f447e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)=f(b)}" loading="lazy"> gibt. Wegen der Vorstellung von vielen Objekten in weniger Schubfächern heißt das „<a href="Schubfachprinzip" title="Schubfachprinzip">Schubfachschluss</a>“.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anzahl_injektiver_Abbildungen">Anzahl injektiver Abbildungen</h2></div>

Die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> in eine gegebene endliche <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Zielmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |B|\geq |A|}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |B|\geq |A|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a215a4cf8f6279c4407d68771aa016fd7fd13dca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |B|\geq |A|}" loading="lazy"> ist gegeben durch:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |B|\cdot (|B|-1)\cdot \ldots \cdot (|B|-|A|+1)={\frac {|B|!}{(|B|-|A|)!}}=|A|!\cdot {\binom {|B|}{|A|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7376eb3735606cc58906bb2b64e3d776a7c1c996.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:64.701ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle |B|\cdot (|B|-1)\cdot \ldots \cdot (|B|-|A|+1)={\frac {|B|!}{(|B|-|A|)!}}=|A|!\cdot {\binom {|B|}{|A|}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies entspricht in der <a href="Abz%C3%A4hlende_Kombinatorik" title="Abzählende Kombinatorik">Kombinatorik</a> einer <a href="Variation_(Kombinatorik)" title="Variation (Kombinatorik)">Variation</a> ohne Wiederholung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf.

Im Englischen lässt sich das Substantiv injection 1945 belegen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Das englische Adjektiv injective wurde 1952 in den Foundations of algebraic topology von <a href="Samuel_Eilenberg" title="Samuel Eilenberg">S. Eilenberg</a> und <a href="Norman_Steenrod" title="Norman Steenrod">N. Steenrod</a> verwendet, allerdings eher im Sinne von <a href="Injektives_Objekt" title="Injektives Objekt">injektiven Objekten</a>.<a href="#cite_note-EarliestKnown-2">[2]</a> Injektiv im Kontext mit den Fachwörtern surjektiv und bijektiv wurde 1954 von der Autorengruppe <a href="Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a> in dem Buch Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie eingeführt.<a href="#cite_note-EarliestKnown-2">[2]</a>

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen „eineindeutig“ einerseits und „injektiv“ bzw. „bijektiv“ andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren „injektiv“, fachfremde Quellen favorisieren teilweise eher „bijektiv“.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Mengenlehre" class="extiw external" title="b:Beweisarchiv: Mengenlehre">Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Ralph_H._Fox" class="mw-redirect" title="Ralph H. Fox">Ralph H. Fox</a>: <cite style="font-style:italic">Torus homotopy groups</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Proceedings_of_the_National_Academy_of_Sciences" class="mw-redirect" title="Proceedings of the National Academy of Sciences">Proceedings of the National Academy of Sciences</a></cite>. Band 31, Nr. 2, 1. Februar 1945, S. 71–74, siehe S. 73 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.pnas.org/content/pnas/31/2/71.full.pdf">Online</a> [PDF; abgerufen am 13. Januar 2017]): „The nucleus of the injection homomorphism …“<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Injektive+Funktion&rft.atitle=Torus+homotopy+groups&rft.au=Ralph+H.+Fox&rft.date=1945-02-01&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=Proceedings+of+the+National+Academy+of+Sciences&rft.pages=71-74&rft.volume=31" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-EarliestKnown-2">↑ <a href="#cite_ref-EarliestKnown_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-EarliestKnown_2-1">b</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jeff560.tripod.com/i.html">Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.</a>

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</ol></div><div><div class="zim-footer">

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